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高考数学终极技巧:三倍角和和差化积公式解读!

复读招生网官方整理 更新时间: 2024-05-17 19:40:18 1668人浏览

导读:

本文将深入探讨高考数学中三倍角公式和和差化积公式的应用技巧,通过详细解读公式的推导过程和记忆方法,帮助学生深入理解并灵活运用,从而在考试中取得更好的成绩。

高考数学终极技巧:三倍角和和差化积公式解读!

三倍角公式


三倍角的正弦、余弦和正切公式


sin3α=3sinα-4sin^3(α)


cos3α=4cos^3(α)-3cosα


tan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]


三倍角公式推导


附推导:


tan3α=sin3α/cos3α


=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)


=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)


上下同除以cos^3(α),得:


tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))


sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα


=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα


=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)


=3sinα-4sin^3(α)


cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα


=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)


=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))


=4cos^3(α)-3cosα



sin3α=3sinα-4sin^3(α)


cos3α=4cos^3(α)-3cosα


三倍角公式联想记忆


记忆方法:谐音、联想


正弦三倍角:3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”))


余弦三倍角:4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)


☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示。


另外的记忆方法:


正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是"3倍"sinα, 无指的是减号, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方


余弦三倍角: 司令无山 与上同理


和差化积公式


三角函数的和差化积公式


sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]


sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]


cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]


cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]


积化和差公式


三角函数的积化和差公式


sinα·cosβ=0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]


cosα·sinβ=0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]


cosα·cosβ=0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]


sinα·sinβ=-0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]


和差化积公式推导


附推导:


首先,我们知道sin(a+b)=sina__cosb+cosa__sinb,sin(a-b)=sina__cosb-cosa__sinb


我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina__cosb


所以,sina__cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2


同理,若把两式相减,就得到cosa__sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2


同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa__cosb-sina__sinb,cos(a-b)=cosa__cosb+sina__sinb


所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa__cosb


所以我们就得到,cosa__cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2


同理,两式相减我们就得到sina__sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2


这样,我们就得到了积化和差的四个公式:


sina__cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2


cosa__sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2


cosa__cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2


sina__sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2


有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式。


我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2


把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:


sinx+siny=2sin((x+y)/2)__cos((x-y)/2)


sinx-siny=2cos((x+y)/2)__sin((x-y)/2)


cosx+cosy=2cos((x+y)/2)__cos((x-y)/2)


cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)__sin((x-y)/2)


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